Matematicas: Numeros Racionales e Irracionales
Publicado por Saleriwi , jueves, 29 de abril de 2010 15:48
Numeros Racionales
Son aquellos de la forma a/b donde a y b son numeros enteros y b tiene que ser siempre distinto de 0. Todos los numeros enteros pertenecen a este grupo.
Ej: 3/1, 100/1, -4/1
*Los conjuntos numericos que hemos estudiado hasta ahora son:
● Naturales [N] : Todos los numeros positivos y enteros {1, 2, 3, 4...}
● Naturales y el cero: lo mismo de arriba pero con el 0 incluido xDDD
● Enteros [Z]: incluye a los numeros negativos {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
● Racionales [Q]: {a/b; donde a y b pertenecen a Z y b es diferente de cero}
Los numeros decimales se dividen en finitos e infinitos, y los infinito a si vez se dividen en periodicos, semi periodicos y no periodicos.
Los infinitos periodicos y semiperiodicos pertenecen a Q, pero los infinitos no periodicos forman otro conjunto , los irracionales [I]
En el conjunto Q podemos aplicar para la Multiplicacion ,Division,Resta y Suma la propiedad llamada "Clausura", esto significa que siempre el resultado de ambas operaciones tambien va a ser racional.
Ej:
-4/7 + 2/5= -20 + 14/ 35 = -6/35
Sorry por no poder las fracciones en vertical D:
En General
a/b + c/d = ad + cd / bd b · d es un numero entero distinto de 0
(ad+cb) tambien es un numero entero, por lo tanto ad + cb/bd pertenece a Q
El Punto M
Dados 2 numeros Q ¿Cuantos nº Q existen entre ellos?----> Infinitos
El punto m es la mitad entre dos numeros D:
Si queremos sacar los puntos M entre 1 y 2
El conjunto Q tambien es un conjunto ordenado, es decir, dadas 2 fracciones es posible decir si son iguales o mayor o menor.
Para saber esto se puede multiplicar cruzado y de los productos resultantes se ve cual es mayor.
O tambien se puede sacar el M.C.M
Numeros Irracionales
Se llaman asi porque no es posible escribirlos como fraccion, en vez de eso se usan simbolos matematicos y en algunos casos letras griegas (por ejemplo Π = phi), recordemos que se trata de nº decimales infinitos no periodicos, por lo cual escribirlo de forma umerica es imposible, lo que usamos son aproximaciones. Son nº racionales todas las raices cuadradas, excepto las raices exactas
√ = signo raiz cuadrada D:
ej:
√9 = 3 porque 3 elevado a 2 es 9
Ubicacion de Algunos Irracionales en la recta numerica
Todos los nº racionales se pueden ubicar en la recta numerica.
Para hacerlo se usa el Teorema de Pitagoras, y su formula era
·Por T. de Pitagoras: cat1² + cat2² = d²
1 + 1 = d²
2 = d²
√2 = d
b) √3
Pitagoras:
cat1² + cat2² = d² ·Se dibuja un rectangulo, cuyo largo sea √2 y su alto sea 1
√2 + 1 = d² · La diagonal del rectangulo al calcularla usando pitagoras, medira √3
2 + 1 = d²
3 = d²
√3 = d
En el caso general, para ubicar una raiz cuadrada en la recta numerica, necesitamos construir un cuadrado o un rectangulo, cuyos catetos midan convenientemente la raiz que buscamos, es decir , si necesitamos √a, debemos buscar cat1 y cat2, de tal forma que:
cat1² + cat2² = a
Ej: √5 = 4 + 1= 5
2² + 1² = 5
√6 = cat1² + cat2² = 6 o √3² + √3² = 6
4 + 2 = 6 √5² + 1 = 6
2² + √2= 6
La idea es usar la menor cantidad posible de irracionales
Las raices:
Esto es de puro adelantá la profe, aunque igual entra la prueba
Al igual que en las potencias, si tengo igual base o igual exponente, se puede aplicar propiedades en la multiplicacion( no en la suma)
a)n√a · n√b = n√ab
b)n√a · m√a = a 1/n +1/m = d√a n d = denominador n =numerador
[CONSIDERE N ,M Y D COMO SI ESTUVIERAN ELEVADOS xDDDDDD]
Propiedades de los numeros irracionales
a)Multiplicacion de 2 nº racionales
i) √2 · √3 = √6
ii) √5 · √7 = √35
iii) √2 · √8 = √16 =4
iv) √2 · √2= √2 = 2
*El resultado puede ser racional o irracional
b)Suma de 2nº irracionales
i)√2 + 1 - √2 = 1
ii) √3 + √3 = 2√3
iii) √1 + √2 = 1 + √2
*consideren las √ como numeros normales , no se maten porque son raices cuadradas xDDDD
Decimales infinitos escritos como fraccion
~Los decimales finitos : se amplifican por una potencia de 10 de tal forma que la parte decimal desaparezca
a) 2.14 · 100/100 = 214/100 ----> 2 14/100
b) 0.0045 · 10000/10000 = 45/10000
~Decimales infinitos periodicos
Por cada periodo , se pone un 9 en el denominador
c) 2,232323... = 2 23/99
d) 0.151515... = 15/99 -> 5/33 [siempre hay que tratar de dejar lo mas simplificada la fraccion]
~Decimales infinitos semiperiodicos
e)4,25555555... --> 4 25-2 /90 ----> 4 23/90
f) 0.211111111... --> 21-2/90 ---> 19/20
*El por que de los 9
Considerando el decimal infinito periodico
2,232323... x 100
223.232323... =2.23 x 10² 100 · 2.2323... - 1 · 2.2323... =221
99· 2.2323... =221
2.2323... = 221/99
Considerando el decimal semiperiodico
4.255555 --> multiplicado por 10 --> 42.5555
--> multiplicado por 100 --> 425, 5555
425,555 4.2525 · 100 - 4.25 ·10
- 42,555 4.2525 · 90 = 383
4.25 = 383/90
Conclusion
Los decimales infinitos periodicos y semiperiodicos, es posible restarlos y por esta razon, se pueden escribir como fraccion.
Escritos como fraccion, se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, mientras los decimales infinitos no periodicos, no es posible escribirlos como fraccion y muchas veces es dificil hacer operaciones con ellos.
En los numeros irracionales la unica manera de hacer operaciones con ellos es dejandolos en su expresion irracional (√)
Para los tontuelos que se les olvida:
*Para restar una fraccion con distinto denominador se saca el mcm,y despues se simplifica la maximo la fraccion ( si es que se necesita :B)
si csm termine *0000*
eeeh y en el libro de la pagina
hagan las guias flojos qlos >:O (?)
Quien hizo esta entrada? D: Amaré a esa persona por el resto del año *o*